Kelly معیار تے رولیٹ
Kelly criterion فائدے والے داء باز نوں دسدا اے کہ کِنی رقم لاوے۔ رولیٹ لئی ایہدا جواب صاف اے: کجھ وی نئیں۔
Kelly داء = فائدہ / تناسب۔ منفی فائدے نال فارمولا منفی حصہ دیندا اے، جیہدا مطلب اے داء نہ لاؤ۔ ایہہ کسوٹی فیر وی ایہہ سمجھن لئی کم دی اے کہ جھکاء والے کھڈاری اپنے داء اوس طرح کیوں رکھدے سن، تے باقی سب نوں داء بجٹ دے حساب نال کیوں رکھنا چاہیدا اے۔
کسوٹی
John Kelly (1956) نے پچھیا کہ جانے پچھانے فائدے والا جواری اپنے داء کِنے وڈے رکھے تاں جو کھیڈ دا سرمایہپیسہکھیڈ دا سرمایہکھیڈن لئی وکھری رکھی کُل رقم۔ کھیڈ دے سرمائے دا انتظام ایہہ فیصلہ اے کہ ایہدے وچوں ہر داء تے ہر بیٹھک وچ کِنا خطرے وچ پاؤنا اے۔پورا پڑھو → لمے عرصے وچ سب توں ودھ ودھے۔ جواب، b:1 ادائیگی والے داء لئی جیہدی جِت دا امکانحسابامکانکسے نتیجے دا امکان، 0 توں 1 یا 0% توں 100%۔ اک نمبر: 1/37 = 2.70%۔پورا پڑھو → p تے ہار دا امکان q = 1 − p ہووے، ایہہ اے کہ سرمائے دا f* = (bp − q) / b حصہ لاؤ۔ مثبت f* دا مطلب اے اوہ حصہ لاؤ؛ صفر یا منفی دا مطلب اے داء نہ لاؤ۔ Kelly Bell Labs وچ کم کردا سی، تے اوہدے مقالے “A new interpretation of information rate” نے ایہہ سوال Claude Shannon دے معلومات دے نظریے وچ رکھیا: جیہڑا جواری شور والی لائن اُتے اشارے لیندا اے، منصفانہ تناسب اُتے، اوہ اپنا سرمایہ ودھ توں ودھ اوس رفتار نال ودھا سکدا اے جِنی معلومات لائن لے جاندی اے۔ 1961 وچ Leo Breiman نے ثابت کیتا کہ Kelly والا داء لمے عرصے وچ کسے وی بنیادی طور تے وکھری حکمت عملی توں اگے رہندا اے تے مقرر ٹیچے تک لگ بھگ سب توں گھٹ ویلے وچ پہنچدا اے۔
رولیٹ وچ Kelly والا داء
لالداءلال18 لال نمبراں اُتے برابر ادائیگی والا داء۔ فرانسیسی: rouge۔پورا پڑھو → لئی: b = 1، p = 18/37، q = 19/37؛ f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37۔ اک نمبر دے داءداءاک نمبر دا داءاک نمبر، ادائیگی 35:1۔پورا پڑھو → لئی: b = 35، p = 1/37، q = 36/37؛ f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295۔ ہر معیاری داء منفی Kelly حصہ دیندا اے، کیوں جے ہر داء دا فائدہ منفی اے، تے ودھاء لئی سب توں چنگا داء صفر اے۔ رولیٹ اُتے Kelly والا داء اوہی گل باقاعدہ طریقے نال آکھدا اے جو ہاؤس ایج والا صفحہ آکھدا اے: منفی توقع والا داء کسے وی رقم نال کھیڈ دا سرمایہ نئیں ودھاؤندا۔
Kelly کتھے لاگو ہویا
جھکاء والے کھڈاریاں کول فائدہ وی سی تے داء دی رقم دا مسئلہ وی۔ Jagger، García-Pelayo ٹبر تے Eudaemons سب نوں فیصلہ کرنا پیا کہ اپنے ناپے ہوئے فائدے اُتے کِنا داء لاؤن، تے گھٹ داء فائدہ ضائع کردا اے جدکہ ودھ داء فائدہ نظر آؤن توں پہلاں ای دیوالیہ کر سکدا اے۔ 30 وچوں 1 واری لگن والے خانےسامانخانہگھمن والے حصے اُتے 37 نمبراں والے خانیاں وچوں اک۔ دوجے ناں: slot، cup۔پورا پڑھو → لئی Kelly آکھدا اے اوس نمبر اُتے ہر اسپن سرمائے دا 0.57%: $10,000 نال، لگ بھگ $57 فی اسپن، تے عام ودھاء لگ بھگ 0.054% فی اسپن، یعنی 1,000 اسپناں وچ ×1.7۔ اوسط نفع ایہدا دُگنا اے، 0.11% فی اسپن، پر Kelly دا نشانہ عام سرمایہ اے، اوسط نئیں، جیہنوں کجھ خوش قسمت سلسلے پھلا دیندے نیں۔ ادھا Kelly عام عملی چون اے کیوں جے فائدے دا اندازہ پکا نئیں ہوندا۔
عام تے اوسط
عام سرمائے تے اوسط سرمائے وچ وڈا فرق اے۔ اک خانہ لوو جو 25 وچوں 1 واری لگدا اے، 44% دا فائدہ، اوہ عدد جو Thorp اپنے آلے لئی دیندا اے۔ Kelly اوہدے اُتے سرمائے دا 1.26% لاؤندا اے۔ 1,000 اسپناں توں بعد عام سرمایہ لگ بھگ 11.5 گنا ودھ چکیا ہوندا اے، جدکہ اوسط، کجھ بہت خوش قسمت سلسلیاں پاروں، لگ بھگ 249 گنا۔ Kelly توں ودھ داء اوسط نوں ودھاؤندا تے عام نتیجے نوں گھٹاؤندا اے: Kelly دے دُگنے داء نال عام سرمایہ صرف دُگنا ہوندا اے، تے Kelly دے ڈھائی گنا اُتے اوہ سُکڑ جاندا اے، حالانکہ ہر داء وچ اجے وی 44% فائدہ اے۔ گھٹ داء دا خرچہ تھوڑا اے: ادھا داء ودھاء دا لگ بھگ تن چوتھائی رکھدا اے۔
جدوں فائدہ صرف اندازہ ہووے
Kelly من کے چلدا اے کہ فائدہ پتہ اے۔ میز اُتے ایہدا اندازہ لایا جاندا اے، تے اندازہ عام طور تے ودھ ہوندا اے۔ Epstein دی مثال، Thorp دے 44% اُتے بنی، اک نمبر اے جو دوہرے صفرپہیہصفراکلا ساوا خانہ جس نوں کوئی برابر ادائیگی، درجن یا کالم دا داء نئیں ڈھکدا؛ ہاؤس ایج دی جڑ۔ ایہنوں اکلا صفر تے 0 وی آکھدے نیں۔پورا پڑھو → والے پہیے دے 1,225 اسپناں وچ 49 واری لگیا: 25 وچوں 1 واری، 44% فائدہ، 1.26% دا Kelly داء۔ پر منصفانہ دوہرے صفر والے پہیے وچ 38 نمبر نیں، تے اوہناں وچوں سب توں ودھ لگن والا 1,225 اسپناں وچ لگ بھگ نو وچوں اک واری 49 یا ودھ تک پہنچ جاندا اے۔ کسے وی ریکارڈ دا سب توں ودھ لگن والا نمبر اوہ وی اے جیہدی قسمت نے سب توں ودھ مدد کیتی، ایس لئی سچ مچ جھکاء والا خانہ وی ریکارڈ وچ اصل توں چنگا لگدا اے: جِتن والے دی لعنت۔ جے اوہ خانہ اصل وچ سِدھا اے، تے Kelly داء بس اک ایسا داء اے جو اوسطاً 5.26% ہاردا اے۔ عام جواب ایہہ نیں کہ Kelly دا اک حصہ لاؤ تے گنتی جاری رکھو جدوں تک فائدہ نویں ریکارڈ وچ وی قائم نہ رہوے (How to Detect Roulette Wheel Bias ویکھو)۔
فائدے والے لوک
فائدہ جاننا تے اوہنوں چنگی طرح ورتنا اکو گل نئیں۔ Haghani تے Dewey (2016) نے 61 بندیاں نوں $25 دتے کہ اوہ ادھا گھنٹہ اک سِکے اُتے داء لاؤن جیہدے بارے دسیا گیا کہ اوہ 60% واری heads آؤندا اے، تے جِتی ہوئی رقم دی حد $250 سی (کھڈاریاں نوں حد دا پتہ اوتھے پہنچ کے ای لگیا)۔ Kelly آکھدا اے ہر واری سرمائے دا 20% heads اُتے لاؤ، تے لکھاریاں دا اندازہ اے کہ 10–20% دے ٹِکے ہوئے داء لگ بھگ 95% واری حد تک پہنچا دیندے۔ صرف 21% کھڈاری اوتھے پہنچے۔ 28% دیوالیہ ہو گئے، 61 وچوں 18 نے اک اچھال اُتے سب کجھ لا دتا، لگ بھگ اک تہائی اپنے شروع دے $25 توں تھلے مُکے، تے اوسط ادائیگیپیسہادائیگیجِتیا داء جو واپس دیندا اے، “X to 1” وانگ دسیا جاندا اے، واپس ہوئی داء دی رقم توں اُتے۔پورا پڑھو → $91 سی۔ 61 وچوں صرف پنج نے Kelly criterion دا ناں سُنیا سی۔ فائدے نال، داء دی رقم فیصلہ کردی اے کہ تسیں اوہنوں رکھ سکو گے یا نئیں؛ فائدے بغیر، جیویں منصفانہ پہیے اُتے، کوئی رقم مدد نئیں کردی۔
ایہدی تھاں کیہ ورتیے
فائدے بغیر، داء دی رقم بجٹ دا سوال اے، ودھاء دا نئیں: داء = جو تسیں ہر اسپن اُتے خرچ کرن لئی تیار او، جو گھنٹے دے بجٹ تے میز دی رفتار توں نکلدا اے (کھیڈ دے سرمائے دے انتظام والا صفحہ)۔ عام کھڈاری لئی Kelly دا حصہ ایہدے جواب دی صفائی اے: صفر۔ صفر توں اُتے جو وی تسیں لاؤندے او اوہ کھیڈن دی قیمت اے، جو تسیں آپ چُندے او، کوئی فارمولا اوہنوں بہتر نئیں بناؤندا۔
حصے والے Kelly تے “پیسے دے انتظام” بارے اک نوٹ
“رولیٹ لئی Kelly” دے ناں تے ویچے جان والے نظام جو ہر داء اُتے سرمائے دا مقرر فیصد دسدے نیں، اصل وچ سُکڑدے داء نال اکو جیہا داءحکمت عملیاکو جیہا داءہر اسپن اُتے اکو رقم لاؤنا۔ ہر داء ودھاؤن والے نظام دا مقابلہ ایسے نال ہوندا اے۔پورا پڑھو → نیں۔ اوہ کُل داء دی رقمپیسہکُل داء دی رقمبیٹھک یا عرصے وچ کُل لائی گئی رقم، مُڑ لائی جِت سمیت۔ ایہنوں handle یا action وی آکھدے نیں۔پورا پڑھو → دا 2.70% ہاردے نیں تے، کیوں جے ہارن نال داء سُکڑدا اے، دیوالیہ ہونا ہولی کر دیندے نیں، ناممکن نئیں۔ بجٹ لمیرا چلاؤن دا ایہہ معقول طریقہ اے؛ ایہہ Kelly نئیں، جو آکھے گا رُک جاؤ۔
فارمولا
سوال
صرف جھکاء والے پہیےتجربہ گاہجھکاء والا پہیہاوہ پہیہ جیہدے جسمانی نقص کجھ خانیاں نوں 1/37 توں ودھ امکان والا بنا دیندے نیں۔ بہت گھٹ، تے صرف ہزاراں لکھے ہوئے اسپناں نال پھڑیا جاندا اے۔پورا پڑھو → یا ویلا ناپن والے آلے توں ناپے ہوئے فائدے نال۔ منصفانہ پہیے اُتے نئیں۔
کیوں جے فائدے دے اندازے وچ غلطی ہوندی اے، تے ودھ داء گھٹ داء توں مہنگا پیندا اے۔ ادھا Kelly اک چوتھائی تغیرحسابتغیرایس گل دا پیمانہ کہ نتیجے متوقع قدر دے دوالے کنی دور تیک کھلردے نیں۔ اک نمبر دے داء وچ ودھ، برابر ادائیگی والے داواں وچ گھٹ۔پورا پڑھو → اُتے ودھاء دا تن چوتھائی دیندا اے۔
نئیں۔ Kelly فائدہ ہوندیاں ودھاء نوں بہتر کردا اے۔ کھیڈ دے سرمائے دا انتظام فائدہ نہ ہوندیاں خرچ قابو کردا اے۔
حساب نال دلچسپی
پہلاں آپ حل کرن دی کوشش کرو۔ ہر حل بند اے؛ جدوں تیار ہووو تاں کھولو۔
Thorp تے Shannon دے پیش گوئی والے آلے نے لگ بھگ 44% فائدہ دتا۔ اک پیش گوئی کیتے نمبر اُتے، Kelly آکھدا اے کھیڈ دے سرمائےپیسہکھیڈ دا سرمایہکھیڈن لئی وکھری رکھی کُل رقم۔ کھیڈ دے سرمائے دا انتظام ایہہ فیصلہ اے کہ ایہدے وچوں ہر داء تے ہر بیٹھک وچ کِنا خطرے وچ پاؤنا اے۔پورا پڑھو → دا 1.26% لاؤ۔ جے اوہی 44% فائدہ پنج گوانڈھی نمبراں اُتے ونڈے اک داء اُتے ہووے تے فیر؟
حل وکھاؤ
جواب فیر Kelly سرمائے دا 7.1% آکھدا اے، تے سرمایہ لگ بھگ چھ گُنا تیز ودھدا اے: 1,000 داواں وچ لگ بھگ 1.25 ملین گُنا، لگ بھگ 11.5 گُنا دے ٹاکرے وچ۔
44% فائدے والا اک نمبر دا داءداءاک نمبر دا داءاک نمبر، ادائیگی 35:1۔پورا پڑھو → 0.04 امکان نال جِتدا اے، کیوں جے 36 × 0.04 = 1.44۔ Kelly دی داء دی رقم فائدے نوں تناسب نال ونڈ کے لبھدی اے: 0.44/35 = 1.26%۔ فی داء عام ودھا 0.04 × ln(1 + 35 × 0.0126) + 0.96 × ln(1 − 0.0126) ≈ 0.00244 اے، ایس لئی 1,000 داء سرمائے نوں لگ بھگ e^2.44 ≈ 11.5 نال ضرب دیندے نیں۔
اک داء دی رقم پنج نمبراں اُتے ونڈو تے داء 0.20 امکان نال جِتدا اے تے 1 دے بدلے 36/5 دیندا اے، یعنی 6.2 بہ 1: فیر وی 44% فائدہ، کیوں جے 0.2 × 7.2 = 1.44۔ Kelly دی داء دی رقم 0.44/6.2 = 7.10% بن جاندی اے، تے فی داء ودھا 0.01404، لگ بھگ 5.75 گُنا۔ 1,000 داواں وچ ایہہ e^14.04، لگ بھگ 1.25 ملین اے۔
فائدہ اوہی اے؛ اُتار چڑھاء نِکے نیں۔ جیہڑا داء پنج وچوں اک واری جِتدا اے اوہ دیوالیے دا خطرہ لئے بغیر سرمائے دا وڈا حصہ چُک سکدا اے، تے Kelly دا ودھا ایہدا انعام دیندا اے۔ Thorp (1984) ایہہ مثال ایہہ وکھاؤن لئی ورتدا اے پئی پیش گوئی کرن والے کھڈاری حصیاںپہیہحصہپہیے اُتے خانیاں دی لگاتار قوس، جیہڑی نقشے دے کسے ٹولے توں وکھری اے۔پورا پڑھو → اُتے داء کیوں لاندے نیں۔ عملی طور تے پنج گوانڈھی نمبرداءگوانڈھی نمبرپہیے اُتے اک نمبر تے اوہدے دوہاں پاسیاں دے دو دو نمبر، پنج اک نمبر والیاں چِپاں۔پورا پڑھو → سبھ توں چنگے اکلے نمبر نالوں تھوڑا گھٹ فائدہ دیندے نیں (ویکھو Advantage Play)۔
اک کھڈاری نوں دو گوانڈھی خانےسامانخانہگھمن والے حصے اُتے 37 نمبراں والے خانیاں وچوں اک۔ دوجے ناں: slot، cup۔پورا پڑھو → لبھے نیں جیہڑے ہر اک 37 وچوں 1 دی تھاں 25 وچوں 1 واری آؤندے نیں۔ کیہ اوہ اوہناں وچکار 17 بہ 1 اُتے دو نمبراں دا داءداءدو نمبراں دا داءنال لگے دو نمبر، ادائیگی 17:1۔پورا پڑھو → لاوے، یاں ہر نمبر اُتے اک نمبر دا داء؟ Kelly کِنا آکھدا اے، تے اک ایسے خانے دے ٹاکرے وچ سرمایہ کِنا تیز ودھدا اے؟
حل وکھاؤ
جواب کوئی فرق نئیں: دو نمبراں دے داء اُتے سرمائے دا 2.59%، یاں ہر نمبر اُتے 1.29%۔ عام سرمایہ 1,000 اسپناں وچ لگ بھگ 155 گُنا ودھدا اے، اک خانے نال 11.5 گُنا دے ٹاکرے وچ۔
دو نمبراں دا داء 2/25 = 0.08 امکانحسابامکانکسے نتیجے دا امکان، 0 توں 1 یا 0% توں 100%۔ اک نمبر: 1/37 = 2.70%۔پورا پڑھو → نال جِتدا اے تے 17 بہ 1 دیندا اے، ایس لئی ایہہ لائی ہر اکائیپیسہاکائیاوہ مُڈھلی داء دی رقم جس وچ کوئی نظام یا کھڈاری کم کردا اے۔ داء ودھاؤن دے نظام اکائیاں وچ دسے جاندے نیں تاں جو ہر میز اُتے لاگو ہون۔پورا پڑھو → اُتے 18 × 0.08 = 1.44 واپس کردا اے: 44% فائدہ، اک جھکاء والے خانے جِنا۔ Kelly دی داء دی رقم فائدے نوں تناسب نال ونڈ کے: 0.44/17 = 2.59%۔
1.29% دے دو اک نمبر دے داء بالکل اوہی نتیجے دیندے نیں۔ جدوں کوئی وی نمبر آوے، اک چِپپیسہچِپپکی رقم دی تھاں لین والی چِپ، جیہڑی داء لاؤن لئی نقشے اُتے رکھی جاندی اے۔ ایہنوں check وی آکھدے نیں۔پورا پڑھو → 35 بہ 1 جِتدی اے تے دوجی ہار جاندی اے، خالص 34 × 1.29% = سرمائے دا 44%، جِنا دو نمبراں دا داء دیندا اے؛ جدوں کوئی نہ آوے، دونویں ہار جاندیاں نیں۔
فی اسپن ودھا 0.00505 اے، اک خانے دے 0.00244 دے ٹاکرے وچ، ایس لئی 1,000 اسپناں وچ عام سرمایہ e^2.44 ≈ 11.5 گُنا دی تھاں e^5.046 ≈ 155 گُنا ودھدا اے۔ دو چنگے نمبر اک دے دُگنے نالوں کِتے ودھ قیمتی نیں، ایسے لئی جھکاء لبھن والے کھڈاری نمبراں دے ٹولیاں اُتے داء لاندے نیں۔ Thorp (1984) ایہو ٹاکرا کر کے وکھاندا اے۔
ہاسے دا وقفہ
رولیٹ دا سب توں چنگا ودھاء والا داء اوہ عدد اے جو سب نوں پہلاں ای پتہ اے۔
ذرائع
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”