دیوالیہ ہون دا خطرہ
ٹیچے تیکر اپڑن توں پہلاں اپنا سارا کھیڈ دا سرمایہ ہارن دا امکان۔
برابر ادائیگی والے داء لئی دیوالیہ ہون دا خطرہ جواری دے دیوالیے والے فارمولے مطابق اے۔ $500 دے کھیڈ دے سرمائے، $10 داء تے $600 ٹیچے نال تسیں لگ بھگ 57% واری ٹیچے تیکر اپڑدے او تے باقی واری دیوالیہ ہوندے او۔
سوال
تہاڈے کول a اکائی داءپیسہاکائیاوہ مُڈھلی داء دی رقم جس وچ کوئی نظام یا کھڈاری کم کردا اے۔ داء ودھاؤن دے نظام اکائیاں وچ دسے جاندے نیں تاں جو ہر میز اُتے لاگو ہون۔پورا پڑھو → دا کھیڈ دا سرمایہپیسہکھیڈ دا سرمایہکھیڈن لئی وکھری رکھی کُل رقم۔ کھیڈ دے سرمائے دا انتظام ایہہ فیصلہ اے کہ ایہدے وچوں ہر داء تے ہر بیٹھک وچ کِنا خطرے وچ پاؤنا اے۔پورا پڑھو → اے تے تسیں p = 18/37 جِت دے امکانحسابامکانکسے نتیجے دا امکان، 0 توں 1 یا 0% توں 100%۔ اک نمبر: 1/37 = 2.70%۔پورا پڑھو → تے q = 19/37 ہار دے امکان والے اک برابر ادائیگی والے داءداءبرابر ادائیگی والا داءلال/کالا، طاق/جفت، وڈا/نِکا۔ 18 نمبر، ادائیگی 1:1۔پورا پڑھو → اُتے ہر واری اک اکائی لا کے a + b اکائیاں تیکر اپڑنا چاہندے او۔ صفر تیکر اپڑن توں پہلاں ٹیچے تیکر اپڑن دا امکان کیہ اے؟ Pascal، Fermat تے Huygens نے 1650 دے دہاکے وچ ایہنوں حل کیتا، تے ایہہ امکان دے سبھ توں پرانے نتیجیاں وچوں اے۔
جواری دے دیوالیے دا فارمولا
P(reach target) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ)۔ دیوالیہ ہون دا خطرہحسابدیوالیہ ہون دا خطرہکسے نشانے یا اسپناں دی گنتی تک پہنچن توں پہلاں سارا سرمایہ ہار جان دا امکان۔پورا پڑھو → اک وچوں ایہہ گھٹا کے اے۔ q/p = 19/18 ≈ 1.0556 نال ایہہ تناسب اکائیاں دی گنتی نال چھیتی ودھدا اے، ایس لئی فارمولا نِکیاں اکائیاں نوں سخت سزا دیندا اے: ٹیچے تیکر اپڑن لئی جنے ودھ داء چاہیدے ہون، رستے وچ 2.70% محصول اونی ای واری بھرنا پیندا اے۔
ایہنوں سمجھنا
نِکیاں اکائیاں نقصان دیندیاں نیں۔ $10 داء نال $500 نوں دُگنا کرن دی کوشش 6% واری کامیاب ہوندی اے؛ $500 دے اک داء نال 48.6% واری۔ منفی توقع والی کھیڈ وچ دلیر کھیڈ، یعنی تھوڑے پر وڈے داء، ٹیچا پاؤن دا امکان سبھ توں ودھ کردی اے، کیوں جے ایہہ ہاؤس ایج لگن دیاں واریاں سبھ توں گھٹ کردی اے۔ ایہہ تہاڈے نال ہوون والی گل دا تغیرحسابتغیرایس گل دا پیمانہ کہ نتیجے متوقع قدر دے دوالے کنی دور تیک کھلردے نیں۔ اک نمبر دے داء وچ ودھ، برابر ادائیگی والے داواں وچ گھٹ۔پورا پڑھو → وی سبھ توں ودھ کردی اے، تے شام چھیتی مُکا دیندی اے۔ ایس نتیجے نوں "دلیر کھیڈ سبھ توں چنگی اے" آکھدے نیں، تے Dubins تے Savage نے 1965 وچ ایہنوں ثابت کیتا۔
مسئلہ کتھوں شروع ہویا
سوال رولیٹ توں پرانا اے۔ 1656 وچ Pascal نے Fermat اگے اک بُجھارت رکھی: دو کھڈاری تِن پاسے سُٹدے نیں، ہر اک کول شروع وچ 12 گوٹیاں نیں؛ 11 آؤنا اک گوٹی اک پاسے لے جاندا اے، 14 آؤنا دوجے پاسے۔ دوہاں نے ایہنوں حل کیتا، تے Huygens، جیہنے ریاضی دان Pierre de Carcavi دے خط توں ایہدے بارے سُنیا، نے 1657 وچ امکان دی پہلی کتاب دے پنجویں مسئلے وجوں ایہنوں، جواب نال پر ثبوت بغیر، چھاپیا۔ گیاراں 27 طریقیاں نال تے چوداں صرف 15 طریقیاں نال آ سکدا اے، ایس لئی ہر گوٹی پہلے کھڈاری ول 14 وچوں 9 واری جاندی اے، تے اُتلا فارمولا، ہر اک دیاں 12 گوٹیاں نال، اوہنوں سبھ کجھ جِتن دا سبھ کجھ ہارن نالوں لگ بھگ 1,157 گُنا ودھ امکان دیندا اے۔ 2.70% ہاؤس ایج بہت نِکی اے، پر اوہو فارمولا وکھاندا اے کہ کئی داواں وچ ایہدا کیہ اثر ہوندا اے۔
اک سچا دلیر داء
اپریل 2004 وچ جوان انگریز Ashley Revell نے اپنے کپڑیاں سمیت لگ بھگ ہر شے ویچ دتی تے $135,300 لے کے Las Vegas دے Plaza گیا۔ کجھ نِکے داواں مگروں اوہنے ساری رقم اکو واری لالداءلال18 لال نمبراں اُتے برابر ادائیگی والا داء۔ فرانسیسی: rouge۔پورا پڑھو → اُتے لا دتی۔ گیندسامانگیندنِکی گیند جیہڑی گھمن والے حصے دی اُلٹی سمت پٹڑی وچ سُٹی جاندی اے۔ اج کل دیاں گینداں ivorine یا Teflon دیاں، 18–21 mm ہوندیاں نیں۔پورا پڑھو → لال 7 اُتے رُکی تے اوہ $270,600 لے کے باہر نکلیا۔ دوہرے صفرپہیہصفراکلا ساوا خانہ جس نوں کوئی برابر ادائیگی، درجن یا کالم دا داء نئیں ڈھکدا؛ ہاؤس ایج دی جڑ۔ ایہنوں اکلا صفر تے 0 وی آکھدے نیں۔پورا پڑھو → والے پہیے اُتے ایس اک اسپن دا امکان 47.37% تے اوسط لاگت $7,121 سی، اک داء اُتے 5.26% ہاؤس ایج۔ $10 دے داواں وچ ونڈن نال اوہو ٹیچا لگ بھگ ناممکن ہوندا۔ دلیر کھیڈ داء نوں چنگا نئیں بناندی؛ ایہہ اوہنوں جِنا ہو سکے چھوٹا بناندی اے۔
بغیر ٹیچے دے دیوالیہ ہون دا خطرہ
جے تسیں صرف دیوالیہ ہوون تیکر کھیڈو یا N اسپن مگروں رُک جاؤ تاں سوال بن جاندا اے: "N اسپن دے اندر میرا کھیڈ دا سرمایہ صفر نوں چھوہن دا امکان کیہ اے؟" عام N لئی کوئی بند فارمولا نئیں پر ایس سائٹ دے نقل کار ایہدا حساب کردے نیں: لال اُتے $10 نال $500 دا کھیڈ دا سرمایہ 100 اسپن وچ لگ بھگ کدی دیوالیہ نئیں ہوندا (1% توں گھٹ)، 500 اسپن وچ لگ بھگ 9% واری، تے 5,000 وچ لگ بھگ 95% واری دیوالیہ ہوندا اے۔ رُکن دے اصول بغیر امکان 100% ول جاندا اے، جیہڑی ہاؤس ایجحسابہاؤس ایجہاؤس ایج (کیسینو دا پکا فائدہ): ہر داء دی رقم وچوں اوہ حصہ جیہڑا کیسینو اوسطاً رکھدا اے: یورپی رولیٹ وچ 2.70%۔پورا پڑھو → دی لمے عرصے والی شکل اے۔
- p10 −$500
- p25 −$500
- میانہ −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
کنا چر، تے کنا اگے
دو ہور پرانے نتیجے اوہناں سوالاں دا جواب دیندے نیں جیہڑے کھڈاری سچ مچ پُچھدے نیں۔ ٹیچا نہ ہووے تاں یورپی پہیے اُتے اکو جیہا برابر ادائیگی والا داء ہر کھیڈ دے سرمائے نوں ہر اکائی بدلے اوسطاً 37 اسپن، تے امریکی پہیے اُتے 19 اسپن چلاندا اے، کیوں جے ہر اسپن اوسطاً اکائی دا 1/37 لیندا اے (امریکی پہیے اُتے 1/19): 100 اکائیاں اوسطاً 3,700 اسپن چلدیاں نیں، بھاویں اجیہیاں ادھیاں بیٹھکاں 3,134 دے اندر مُک جاندیاں نیں (بیٹھک دی لمبائی تے لاگت ویکھو)۔ تے کھیڈ دا سرمایہ جِنا وی وڈا ہووے، یورپی پہیے اُتے کدی k اکائیاں اگے ہوون دا امکان (18/19)ᵏ اے۔ اک اکائی لئی ایہہ 95% تے دس لئی 58% اے، پر کوئی وی کھیڈ دا سرمایہ، بھاویں کِنا وی ڈونگھا ہووے، کدی 13 اکائیاں اگے ہوون دا برابر امکان نئیں دیندا؛ امریکی پہیے اُتے امکان (9/10)ᵏ اے تے 7 اکائیاں اُتے ادھے توں تھلے چلا جاندا اے۔
ادھو ادھ امکان لئی کھیڈ دا سرمایہ
سوال اُلٹا دیو: سبھ کجھ ہارن توں پہلاں کوئی مِتھی رقم جِتن دا گھٹو گھٹ ادھو ادھ امکان رکھن لئی کنی رقم لیاؤنی چاہیدی اے؟ نِکی جِت لئی بہتی نئیں۔ وڈی جِت لئی لوڑیندا کھیڈ دا سرمایہ چھیتی ودھدا اے، تے اک حد مگروں کوئی کھیڈ دا سرمایہ کافی نئیں، کیوں جے بے انت کھیڈ دا سرمایہ وی اینا اگے کدی اپڑن دا ادھو ادھ توں گھٹ امکان دیندا اے۔ Taylor (2021) ایہنوں انج آکھدا اے: امریکی پہیے اُتے 100 اکائیاں تیکر اپڑن دا ادھو ادھ امکان رکھن لئی 94 توں شروع کرنا پیندا اے، 6 جِتن لئی 94 دا خطرہ۔ یورپی پہیے اُتے 88 چاہیدیاں ہون گیاں۔
عملی سبق
طے کرو کہ تسیں کیہ کرنا چاہندے او۔ جے مقصد کوئی مِتھی جِت اے تاں وڈے تے تھوڑے داء لاؤ۔ جے مقصد لمی شام اے تاں نِکے داء لاؤ تے من لوو کہ ہاؤس ایج وڈی کُل داء دی رقمپیسہکُل داء دی رقمبیٹھک یا عرصے وچ کُل لائی گئی رقم، مُڑ لائی جِت سمیت۔ ایہنوں handle یا action وی آکھدے نیں۔پورا پڑھو → دا اپنا 2.70% لوے گی۔ جے مقصد دوویں نیں تاں کجھ نہ کجھ چھڈنا پوے گا، تے عام طور تے اوہ ٹیچا ہوندا اے۔
فارمولا
سوال
Martingaleحکمت عملیMartingaleداء ودھاؤن دا نظام جیہڑا ہر گھاٹے توں بعد داء دُگنا کردا اے۔ ایہہ کیہ کردا اے تے کیہ نئیں، حکمت عملی والے حصے وچ ویکھو۔پورا پڑھو → چھوٹیاں بیٹھکاں لئی ایہنوں گھٹ تے لمیاں بیٹھکاں لئی بہت ودھ کردی اے۔ وڈی اکائی اُتے اکو جیہا داءحکمت عملیاکو جیہا داءہر اسپن اُتے اکو رقم لاؤنا۔ ہر داء ودھاؤن والے نظام دا مقابلہ ایسے نال ہوندا اے۔پورا پڑھو → ایہنوں گھٹ کرن دا ایمان دار طریقہ اے۔
اُتلا فارمولا برابر ادائیگی لئی اے۔ ودھ تغیر والے داواں وچ نِکے داء اُتے دیوالیہ ہونا ودھ ممکن اے تے ٹیچا بے قاعدہ طریقے نال اپڑدا اے؛ کیلکولیٹر ورتو۔
ٹیچے ول ہر قدم دیوالیے ول ہر قدم توں تھوڑا گھٹ ممکن اے؛ تناسب قدماں دی گنتی اُتے جُڑدا جاندا اے۔
حساب نال دلچسپی
پہلاں آپ حل کرن دی کوشش کرو۔ ہر حل بند اے؛ جدوں تیار ہووو تاں کھولو۔
تہاڈے کول $100 نیں تے تسیں $1,000 چاہندے او، صرف لالداءلال18 لال نمبراں اُتے برابر ادائیگی والا داء۔ فرانسیسی: rouge۔پورا پڑھو → اُتے داء لا کے۔ پہلا منصوبہ: اک واری وچ $1 لاؤ۔ دوجا منصوبہ: جو کجھ کول اے سارا لاؤ جدوں تیکر $500 توں نہ ٹپ جاؤ، فیر بس اونا جِنا $1,000 تیکر اپڑن لئی چاہیدا اے۔ کیہڑا منصوبہ چنگا اے، تے کِنا؟
حل وکھاؤ
جواب دوجا منصوبہ، بہت ودھ۔ ایہہ لگ بھگ 9.0% واری $1,000 تیکر اپڑدا اے، منصفانہ 10% دے نیڑے۔ پہلا منصوبہ 10²² وچوں لگ بھگ 7 واری کامیاب ہوندا اے۔
منصفانہ کھیڈحسابمنصفانہ کھیڈاوہ کھیڈ جیہدے وچ کسے پاسے نوں فائدہ نئیں: ہر داء دی متوقع قدر صفر اے۔پورا پڑھو → وچ تسیں جو وی کردے $100 توں $1,000 تیکر دس وچوں اک واری اپڑدے، کیوں جے تہاڈے پیسے دی اوسط قدر $100 ای رہندی اے۔
ہاؤس ایج ہر داء دا 2.70% لے جاندا اے، ایس لئی جِنا گھٹ کُل داء لاؤ گے، اونا ای دس وچوں اک دے نیڑے رہو گے۔ دوجا منصوبہ گل کجھ ای داواں وچ مکا دیندا اے: $100 بندے $200، $400، $800، تے فیر $200 کافی اے۔ ایہہ لگ بھگ 9.0% واری کامیاب ہوندا اے۔ پہلا منصوبہ ٹور مُکن توں پہلاں ہزاراں داء لیندا اے، تے ہاؤس ایج، ہر اک اُتے نِکا، جُڑ کے لگ بھگ پکا دیوالیہ بن جاندا اے۔
ایہہ Dubins–Savage دا نتیجہ اپنی سبھ توں سادہ شکل وچ اے (Epstein, 2013): جیہڑی کھیڈ کیسینو دے حق وچ ہووے، اوہدے وچ جِنا لوڑ اے اونا داء لاؤ، جِنیاں گھٹ واری ہو سکے۔
تہاڈے کول $500 نیں تے تسیں $1,000 چاہندے او، ملدیاں ای رُک جاندے او۔ تسیں اک قسم دا داء چُندے او تے اوہنوں دہراندے او جدوں تیکر اوہ اک واری جِت نہ جاوے یاں پیسے مُک نہ جاؤن۔ کیہڑی قسم سبھ توں چنگا امکان دیندی اے؟
حل وکھاؤ
جواب لال اُتے $500 دا اک داء: 48.6%۔ ہر اوہ منصوبہ جیہڑا پیسے نوں نِکے داواں وچ ونڈدا اے، ماڑا کردا اے۔
ہر داء دی رقم انج چُنو پئی اک جِت کافی ہووے: اک نمبر دے داءداءاک نمبر دا داءاک نمبر، ادائیگی 35:1۔پورا پڑھو → اُتے $30، $1,050 جِتدا اے، دو نمبراں دے داءداءدو نمبراں دا داءنال لگے دو نمبر، ادائیگی 17:1۔پورا پڑھو → اُتے $60، $1,020 جِتدا اے، تے انج ای۔ فیر گِنو پئی پیسے مُکن توں پہلاں گھٹو گھٹ اک داء جِتن دا امکان کِنا اے۔ $30 دے سولاں اک نمبر دے داء سارے (36/37)¹⁶ = 64.5% امکان نال رہ جاندے نیں، ایس لئی اوہ 35.5% واری $1,000 تیکر اپڑدے نیں۔
ٹیبل ہر داء وکھاندا اے۔ لال سبھ توں چنگا اے کیوں جے اوہ اک داء وچ اپڑ جاندا اے، ایس لئی ہاؤس ایج اک واری، $500 اُتے، دینا پیندا اے۔ چھ نمبراں دا داءداءچھ نمبراں دا داءنال لگیاں دو قطاراں وچ چھ نمبر، ادائیگی 5:1۔ فرانسیسی: sixain۔پورا پڑھو → دوجے نمبر اُتے اے کیوں جے اوہنوں صرف تن چاہیدے نیں۔ اک درجنداءدرجن1–12، 13–24 یا 25–36، ادائیگی 2:1۔پورا پڑھو → دا داء سبھ توں ماڑا اے، 12/37 دا موقع؛ $250 دیاں اکائیاںپیسہاکائیاوہ مُڈھلی داء دی رقم جس وچ کوئی نظام یا کھڈاری کم کردا اے۔ داء ودھاؤن دے نظام اکائیاں وچ دسے جاندے نیں تاں جو ہر میز اُتے لاگو ہون۔پورا پڑھو → وچ کھیڈیا جاوے جدوں تیکر $1,000 یاں ودھ نہ ہو جاوے، تاں وی درجن صرف 46.4% واری اپڑدی اے۔
Bollman (2024) امریکی پہیے لئی ایہو ٹیبل بناندا اے۔ اوہدی درجن والی قطار وچ اک غلطی اے: اوتھے 12/38 = 31.6% ہونا چاہیدا اے۔
داءداء دی رقم × داواں دی گنتی$1,000 تیکر اپڑن دا امکاناک نمبر دا داء$30 × 1635.5%دو نمبراں دا داء$60 × 835.9%تن نمبراں دا داء$90 × 534.5%چار نمبراں دا داء$125 × 436.7%چھ نمبراں دا داء$166, $166, $16841.2%درجن$500 × 132.4%لال$500 × 148.6%تسیں اسپن پچھوں اسپن لال اُتے اک اکائی داء لاندے او، ایسے کھیڈ دے سرمائےپیسہکھیڈ دا سرمایہکھیڈن لئی وکھری رکھی کُل رقم۔ کھیڈ دے سرمائے دا انتظام ایہہ فیصلہ اے کہ ایہدے وچوں ہر داء تے ہر بیٹھک وچ کِنا خطرے وچ پاؤنا اے۔پورا پڑھو → نال جیہڑا کدی نئیں مُکدا۔ پہلے اسپن پچھوں تسیں اک اکائی اُتے یاں اک اکائی ہیٹھاں او۔ کیہ امکان اے پئی تسیں کدی وی فیر ٹھیک برابر ہو جاؤ گے؟
حل وکھاؤ
جواب 37 وچوں 36، 97.3%۔ امریکی پہیے اُتے 38 وچوں 36، 94.7%۔
جے پہلا اسپن جِت جاوے (37 وچوں 18 واری)، تسیں اک اکائی اُتے او، تے ہاؤس ایج ہر نہ مُکن والی بیٹھک نوں ہیٹھاں کھچدا اے، ایس لئی کدی نہ کدی تسیں برابر توں لنگھو گے: ایہہ پکا اے۔ جے ہار جاوے (37 وچوں 19 واری)، تہانوں اک اکائی چڑھنا پوے گا، تے کدی اک اکائی اگے ہون دا امکان 18/19 اے (اُتے والا ٹیبل ویکھو)۔
اکٹھے: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37۔
عام طور تے امکان 1 وچوں اسپن جِتن تے ہارن دے امکاناں دا فرق گھٹا کے ہوندا اے: یورپی پہیے اُتے 1 − 1/37، امریکی اُتے 1 − 2/38۔ صفرپہیہصفراکلا ساوا خانہ جس نوں کوئی برابر ادائیگی، درجن یا کالم دا داء نئیں ڈھکدا؛ ہاؤس ایج دی جڑ۔ ایہنوں اکلا صفر تے 0 وی آکھدے نیں۔پورا پڑھو → توں بغیر کھیڈ وچ فرق کجھ نئیں تے امکان 1 اے: حساب ہمیشہ برابر اُتے مُڑ آؤندا اے۔ Epstein (2013) عام اصول دیندا اے۔
Pascal دا 1656 والا سوال: دو کھڈاری تن ڈائس سُٹدے نیں، ہر اک 12 گیٹیاں نال شروع کردا اے۔ ہر 11 اک گیٹی پہلے کھڈاری ول لے جاندا اے، ہر 14 اک دوجے ول؛ باقی سُٹاں نئیں گِنیاں جاندیاں۔ پہلے کھڈاری دے ساریاں 24 جِتن دا کِنا امکان اے؟ تے جے تسیں ایہدی تھاں اک یار دے ٹاکرے وچ جیہڑا بینک بندا اے، ہر اسپن لال اُتے 1 اکائی لاؤ، دوہاں کول 12 اکائیاں، تے تہاڈے ساریاں 24 جِتن دا کِنا امکان اے؟
حل وکھاؤ
جواب پہلا کھڈاری 1,158 وچوں لگ بھگ 1,157 واری جِتدا اے۔ تسیں، لال اُتے، ساریاں 24 اکائیاں صرف لگ بھگ 34% واری جِتدے او۔
تن ڈائس 27 طریقیاں نال 11 تے 15 طریقیاں نال 14 بناندے نیں، ایس لئی ہر ہلن والی گیٹی 42 وچوں 27 واری، 14 وچوں 9 واری، پہلے کھڈاری ول جاندی اے۔ جدوں ہر پاسا 12 توں شروع کرے، سبھ کجھ لین دا امکان 1/(1 + r¹²) اے، جتھے r دوجے پاسے دے امکان تے تہاڈے امکان دا تناسب اے۔
پہلے کھڈاری لئی r = 5/9، تے (5/9)¹² ≈ 0.00086، ایس لئی امکان لگ بھگ 0.99914 اے: 9¹² بہ 5¹²، یاں 282,429,536,481 بہ 244,140,625، لگ بھگ 1,157 بہ 1۔ Huygens نے 1657 وچ بالکل ایہو عدد چھاپے۔
لال اُتے، صفر پاروں r = 19/18، تے (19/18)¹² ≈ 1.913: تہاڈا امکان 1/2.913 ≈ 34.3% اے۔ سِکہ 50% دیندا۔ ہر داء اُتے 2.70% ہاؤس ایج، جِنے داء لگدے نیں اوہناں اُتے جُڑ کے، 16 پوائنٹ دا فرق بن جاندا اے۔
ہاسے دا وقفہ
دلیر کھیڈ سبھ توں چنگی اے۔ ایہہ چھیتی مُک وی جاندی اے۔
ذرائع
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Letter to Huygens, 28 September 1656, on the problem Pascal posed to Fermat.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”