سوال: میز دی حد
$500 والی میز اُتے $10 دا Martingale۔ ایہہ کِنی واری ٹُٹدا اے، ٹُٹن اُتے کِنا ہاردا اے، تے کیہ حد ودھاؤن نال فائدہ ہوندا اے؟
لگاتار چھ ہاراں ایہنوں توڑ دیندیاں نیں: ہر چکر وچ 1.8%، 100 اسپناں والیاں لگ بھگ 60% بیٹھکاں وچ۔ ٹُٹن دا خرچہ $630 اے۔ حد $5,000 کرن نال ٹُٹنا کدی کدار (ہر چکر 0.25%) تے وڈا ($5,110) ہو جاندا اے۔ ہر لائے ڈالر اُتے متوقع گھاٹا کسے وی حد اُتے 2.70% اے۔
سوال
اک کھڈاری لالداءلال18 لال نمبراں اُتے برابر ادائیگی والا داء۔ فرانسیسی: rouge۔پورا پڑھو → اُتے $10 لاؤندا اے تے ہر ہار توں بعد دُگنا کردا اے، جِت توں بعد مُڑ شروع کردا اے۔ میز دی سب توں وڈی حد $500 اے۔ (a) کِنیاں لگاتار ہاراں داء ودھاؤن دا نظامحکمت عملیداء ودھاؤن دا نظامکوئی وی قاعدہ جیہڑا پچھلے نتیجیاں مطابق داء دی رقم بدلے۔ منفی نظام ہار مگروں رقم ودھاؤندے نیں، مثبت جِت مگروں۔پورا پڑھو → توڑ دیندیاں نیں؟ (b) ہر چکر وچ امکانحسابامکانکسے نتیجے دا امکان، 0 توں 1 یا 0% توں 100%۔ اک نمبر: 1/37 = 2.70%۔پورا پڑھو → کیہ اے؟ (c) ٹُٹن اُتے کِنا جاندا اے؟ (d) $5,000 دی حد جواب کیویں بدلدی اے؟ (e) کیہ کوئی حد ایس نظام نوں نفع والا بنا دیندی اے؟
حل (a)–(c)
داء: 10، 20، 40، 80، 160، 320۔ ستواں 640 > 500 ہووے گا، ایس لئی چھ ہاراں ایہنوں توڑ دیندیاں نیں۔ (b) لال اُتے p(ہار) = 19/37؛ (19/37)⁶ = 0.0183، ہر چکر لگ بھگ 1.8%۔ اک چکر اوسطاً لگ بھگ دو اسپن چلدا اے، ایس لئی 100 اسپناں دی بیٹھک وچ لگ بھگ 50 چکر ہوندے نیں تے p(گھٹو گھٹ اک واری ٹُٹنا) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%۔ (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630، یعنی 63 بنیادی اکائیاںپیسہاکائیاوہ مُڈھلی داء دی رقم جس وچ کوئی نظام یا کھڈاری کم کردا اے۔ داء ودھاؤن دے نظام اکائیاں وچ دسے جاندے نیں تاں جو ہر میز اُتے لاگو ہون۔پورا پڑھو →، اوہناں $10 دے مقابلے وچ جو چکر جِتن دی کوشش کر رہیا سی۔
حل (d)
$5,000 اُتے: 2,560 تک داء چل سکدے نیں؛ دسواں داء، 5,120، منع اے۔ نو ہاراں ایہنوں توڑ دیندیاں نیں: (19/37)⁹ ≈ ہر چکر 0.25%، 100 اسپناں والیاں لگ بھگ 11% بیٹھکاں۔ ٹُٹن اُتے گھاٹا: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110۔ کھڈاری نے کدی کدار آؤن والی تباہی خریدی اے، اوہدی قیمت اک وڈی تباہی اے۔ بہت ساریاں بیٹھکاں وچ ٹُٹن دا متوقع خرچہ p × گھاٹا ≈ 0.0183 × 630 = $500 دی حد اُتے ہر چکر $11.5 تے $5,000 اُتے 0.0025 × 5,110 = $12.8 اے؛ گول کرن دے فرق نال ایہہ اکو عدد اے، تے ایہہ چکر دا متوقع گھاٹاحسابمتوقع گھاٹامتوقع قدر ضرب لائی گئی کُل رقم؛ کسے بیٹھک یا عرصے وچ اوسطاً ہاری جان والی رقم۔پورا پڑھو → اے، جمع اوہ $10 جو جِتن والے چکر کماؤندے نیں۔
حل (e)
نئیں۔ ہر چکر دا متوقع گھاٹا = (چکر وچ متوقع کُل داء) / 37، کسے وی حد اُتے، کیوں جے ہر داء اپنے آپ دا −1/37 اے۔ حد صرف ایہہ طے کردی اے کہ گھاٹا بہت ساریاں نِکیاں جِتاں تے کجھ وڈیاں ہاراں وچ کیویں ونڈیا جاوے۔ بغیر حد تے بے انت کھیڈ دے سرمائےپیسہکھیڈ دا سرمایہکھیڈن لئی وکھری رکھی کُل رقم۔ کھیڈ دے سرمائے دا انتظام ایہہ فیصلہ اے کہ ایہدے وچوں ہر داء تے ہر بیٹھک وچ کِنا خطرے وچ پاؤنا اے۔پورا پڑھو → نال نظام “چل” جاندا، ایس معنی وچ کہ کدی نہ ٹُٹدا، تے اوہ بے حد رقم وی لاؤندا جیہدا متوقع گھاٹا اوس بے حد رقم دا 2.70% ہوندا۔ Martingaleحکمت عملیMartingaleداء ودھاؤن دا نظام جیہڑا ہر گھاٹے توں بعد داء دُگنا کردا اے۔ ایہہ کیہ کردا اے تے کیہ نئیں، حکمت عملی والے حصے وچ ویکھو۔پورا پڑھو → نوں میز دی حدمیزمیز دی حداجازت والا سب توں نِکا تے سب توں وڈا داء۔ سب توں وڈا داء ای دُگنا کرن والے نظاماں نوں روکدا اے۔پورا پڑھو → نئیں روکدی۔ حساب روکدا اے۔
دو اصلی میزاں
Thorp دی مثال $1 والی میز اے جیہدی حد $1,000 اے، جتھے کھڈاری اک اک ڈالر کر کے روٹی لئی $30 جِتن دی آس رکھدا اے۔ داء 1، 2، 4 … 512 دس داواں دی اجازت دیندے نیں، ایس لئی لگاتار دس ہاراں نظام توڑ دیندیاں نیں: یورپی پہیے اُتے 785 چکراں وچ اک واری (امریکی اُتے 613 وچ اک واری)، $1,023 دے خرچے نال۔ تیہ چکر 96.2% واری سارے کامیاب ہوندے نیں۔ باقی 3.8% لگ بھگ $1,000 ہاردے نیں، تے شام دا اوسط نتیجہ −$9.17 اے، جو بالکل اوہناں $339 دا 1/37 اے جو تیہ چکر اوسطاً لاؤندے نیں۔ $2,000 دی حد والی $5 دی میز وی وکھری نئیں: $1,280 تک دے داء نو داواں دی اجازت دیندے نیں، تے ٹُٹنا یورپی پہیے اُتے 403 چکراں وچ اک واری (امریکی اُتے 323 وچ اک واری) آؤندا اے تے $2,555 دا پیندا اے۔
امیر کھڈاری
نظام نوں نِکی حد دی تھاں ڈونگا سرمایہ دیو: 1,000 اکائیاں، اک اکائی دی بنیاد تے لال اُتے 1,000 اسپن، تے جدوں اگلا دُگنا بچی رقم توں ودھ ہووے تے مُڑ اک اکائی توں شروع۔ اسیں اجیہیاں دس لکھ شاماں دی نقل کیتی۔ یورپی پہیے اُتے 52% نفع وچ مُکدیاں نیں، 21% سب کجھ ہار دیندیاں نیں، تے اوسط نتیجہ −124 اکائیاں اے۔ بغیر صفرپہیہصفراکلا ساوا خانہ جس نوں کوئی برابر ادائیگی، درجن یا کالم دا داء نئیں ڈھکدا؛ ہاؤس ایج دی جڑ۔ ایہنوں اکلا صفر تے 0 وی آکھدے نیں۔پورا پڑھو → والی کھیڈ وچ وی، جتھے ہر داء منصفانہ اے، صرف لگ بھگ 60% نفع وچ مُکدیاں۔ عام شام نِکی جِت ہوندی اے؛ اوسط دی قیمت اوہ شاماں بھردیاں نیں جو صفر اُتے مُکدیاں نیں۔
سبق
کیسینو حداں اپنا تغیرحسابتغیرایس گل دا پیمانہ کہ نتیجے متوقع قدر دے دوالے کنی دور تیک کھلردے نیں۔ اک نمبر دے داء وچ ودھ، برابر ادائیگی والے داواں وچ گھٹ۔پورا پڑھو → قابو کرن لئی رکھدے نیں، نظاماں نوں ہراؤن لئی نئیں۔ Martingale دی ہار اک ضمنی نتیجہ اے جیہدے توں اوہ خوش نیں، تے حساب اوہنوں اونج وی ہرا دیندا۔ جو کھڈاری سمجھدا اے کہ مسئلہ حد اے، اوہنے کھائی لبھ لئی اے تے اوہنوں ڈھلوان سمجھ بیٹھا اے۔
فارمولا
سوال
ایہہ تہانوں اُچی حد تک بچن دیندا اے، جتھے ٹُٹنا کدی کدار تے وڈا ہوندا اے۔ ہر ڈالر اُتے متوقع گھاٹا اوہی رہندا اے۔
داء 10، 30، 70، 150، 310: پنج ہاراں توں بعد $500 دی حد آ جاندی اے، تے ٹُٹنا $570 دا پیندا اے۔ اوہی 2.70%۔
تاں جو اک کھڈاری کیسینو دے ذخیرے دی آسانی نال بھرن والی رقم توں ودھ داء نہ لا سکے۔ تغیر دا انتظام۔
حساب نال دلچسپی
پہلاں آپ حل کرن دی کوشش کرو۔ ہر حل بند اے؛ جدوں تیار ہووو تاں کھولو۔
اک Martingaleحکمت عملیMartingaleداء ودھاؤن دا نظام جیہڑا ہر گھاٹے توں بعد داء دُگنا کردا اے۔ ایہہ کیہ کردا اے تے کیہ نئیں، حکمت عملی والے حصے وچ ویکھو۔پورا پڑھو → لالداءلال18 لال نمبراں اُتے برابر ادائیگی والا داء۔ فرانسیسی: rouge۔پورا پڑھو → اُتے $100 توں شروع ہوندا اے تے اک چکر وچ ودھ توں ودھ n داء لاؤن دیندا اے: لگاتار n ہاراں پچھوں اوہ چھڈ کے مُڑ شروع کردا اے۔ اک چکر دا اوسط نتیجہ n دے فارمولے وجوں لکھو، تے یورپی پہیے اُتے 5، 6 تے 7 داواں لئی کڈھو۔
حل وکھاؤ
جواب اوسط 100 × (1 − (38/37)ⁿ) اے: 5 داواں لئی −$14.26، 6 لئی −$17.35 تے 7 لئی −$20.52۔ ودھ داء لاؤن دین نال اوسط چکر ماڑا ہوندا اے، چنگا نئیں۔
چکر $100 جِتدا اے جدوں تیکر سارے n داء نہ ہارن، جو qⁿ امکان نال ہوندا اے، جتھے q = 19/37۔ جدوں سارے ہار جاندے نیں، داء دیاں رقماں 100، 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ جُڑ کے 100 × (2ⁿ − 1) بندیاں نیں۔ ایس لئی اوسط 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ) اے۔
ایتھے 2q = 38/37، 1 توں تھوڑا ودھ، ایس لئی (2q)ⁿ، n نال ودھدا اے تے اوسط ڈِگدی اے: n = 5، 1.1426 تے −$14.26 دیندا اے؛ n = 6، 1.1735 تے −$17.35؛ n = 7، 1.2052 تے −$20.52۔ لمی پوڑی گھٹ واری ہاردی اے، 3.6%، 1.8% تے 0.9% چکراں وچ، پر ہر ہار دُگنی وڈی ہوندی اے، تے ہر چکر وچ ودھ پیسہ میز اُتوں لنگھدا اے، ہر داء دے 2.70% اُتے۔
امریکی پہیے اُتے 2q = 40/38 تے عدد −$29.24، −$36.04 تے −$43.20 نیں (Taylor, 2021)۔ صفرپہیہصفراکلا ساوا خانہ جس نوں کوئی برابر ادائیگی، درجن یا کالم دا داء نئیں ڈھکدا؛ ہاؤس ایج دی جڑ۔ ایہنوں اکلا صفر تے 0 وی آکھدے نیں۔پورا پڑھو → توں بغیر کھیڈ وچ 2q = 1، تے ہر چکر دی اوسط ٹھیک صفر اے بھانویں پوڑی جِنی وی لمی ہووے۔
“grand Martingale” ہار پچھوں داء دی رقم دُگنی کر کے اک اکائیپیسہاکائیاوہ مُڈھلی داء دی رقم جس وچ کوئی نظام یا کھڈاری کم کردا اے۔ داء ودھاؤن دے نظام اکائیاں وچ دسے جاندے نیں تاں جو ہر میز اُتے لاگو ہون۔پورا پڑھو → رلاندا اے، ایس لئی رقماں 1، 3، 7، 15، 31 … چلدیاں نیں۔ جدوں پہلی جِت 1، 2، 3 یاں k ویں داء اُتے آوے تے تسیں کِنے اُتے او؟ $10 دی اکائی تے $500 دی حد نال، چکر کِنی واری ٹُٹدا اے، تے اک چکر دی اوسط قیمت کیہ اے؟
حل وکھاؤ
جواب k ویں داء اُتے جِت تہانوں k اکائیاں اُتے چھڈدی اے: +1، +2، +3 تے انج ای۔ $10 تے $500 اُتے چکر پنج ہاراں پچھوں ٹُٹدا اے، 3.57% چکراں وچ، −$570 نال۔ اوسطاً اک چکر $85.73 لائے وچوں $2.32 ہاردا اے: 2.70%۔
k ویں داء دی رقم 2ᵏ − 1 اکائیاں اے: 1، 3، 7، 15، 31۔ پہلیاں k − 1 رقماں جُڑ کے 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1 بندیاں نیں۔ k ویں داء اُتے جِت 2ᵏ − 1 دیندی اے، ایس لئی چکر (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k اکائیاں اُتے مُکدا اے: جِت توں پہلاں دی ہر ہار لئی اک وادھو اکائی۔
$10 فی اکائی اُتے رقماں $10، $30، $70، $150 تے $310 نیں؛ اگلی، $630، $500 دی حد توں اُتے اے۔ لگاتار پنج ہاراں، (19/37)⁵ = 3.57%، دی قیمت 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570 اے۔
اوسط: جِتاں k = 1 توں 5 لئی (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 امکان نال $10 × k لیاندیاں نیں، تے ٹُٹنا 3.57% امکان نال $570 لے جاندا اے؛ اکٹھے −$2.32۔ لائی رقم دی اوسط $85.73 فی چکر اے، تے 2.32/85.73 = 2.70%۔ اوسے میز اُتے عام Martingale چھ ہاراں پچھوں ٹُٹدا اے، 1.83% چکراں وچ، −$630 نال، تے $64.20 لائے وچوں $1.74 ہاردا اے: فیر 2.70%۔
اک کھڈاری $1,000 دی حد والی میز اُتے $1 دے پہلے داء نال لال اُتے Martingale دا منصوبہ بناندا اے، ایس لئی دس داء ہو سکدے نیں: $1، $2، $4 تے انج $512 تیکر۔ اک چکر کِنی واری سارے دس ہاردا اے، اوسطاً ایہدے وچ کِنا چِر لگدا اے، تے 200 داواں دی اک شام کِنی واری انج مُکدی اے؟
حل وکھاؤ
جواب اک چکر لگ بھگ 784 وچوں اک واری سارے دس ہاردا اے، جیہدی قیمت $1,023 اے۔ ایہہ اوسطاً لگ بھگ 1,600 داء اے، تے 200 داواں دی شام لگ بھگ 11% واری کندھ نال ٹکراندی اے۔ فیر وی اک چکر اوسطاً $11.31 لائے وچوں $0.31 ہاردا اے: 2.70%۔
لال اُتے داء 19/37 امکان نال ہاردا اے، صفر سمیت۔ لگاتار دس: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128، لگ بھگ 784 وچ 1۔ رقماں 1 + 2 + 4 + … + 512 جُڑ کے $1,023 بندیاں نیں۔
اک چکر اوسطاً 2.05 داء لیندا اے، ایس لئی 784 چکر لگ بھگ 1,600 داء لیندے نیں۔ اسپن اسپن گِنو تے دس ہاراں دی لڑی 200 داواں وچ کِتے نہ کِتے 11.3% واری آؤندی اے۔
تباہیاں دے وچکار کھڈاری ہر چکر $1 جِتدا اے: ماڑے توں پہلاں لگ بھگ $783، فیر −$1,023، پورے عرصے وچ لگ بھگ −$240۔ فی چکر: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31۔ فی چکر لائی رقم: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31۔ تے −0.31/11.31 = −2.70%۔
ٹاکرا کرو $500 دی حد اُتے $10 دے پہلے داء نال، چھ داء: کندھ 55 چکراں وچ اک واری آؤندی اے، تے 200 داواں دی شام 84% واری اوہدے نال ٹکراندی اے۔ اُچی حد تباہی نوں گھٹ واری تے وڈا کردی اے، سستا نئیں۔
ہاسے دا وقفہ
ہر حد اُتے کدی کدار تے وڈا۔ ضرب پکی اے۔
ذرائع
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.